Тома Пространство

- топологич. Пространство, сопоставляемое векторному (или сферическому) расслоению. Пусть . Векторное расслоение над клеточным пространством X. Пусть в нем выбрана риманова метрика и рассматривается ассоциированное с расслоение на замкнутые единичные диски. В содержится подрасслоение на единичные сферы. Факторпространство есть пространство Тома расслоения обозначаемое Для компактной базы XТ. П. Можно описать также как одноточечную компактификацию тотального пространства расслоения Кроме того, Т. П. Является конусом проекции и можно таким образом определять Т. П. Любого сферич. Расслоения. Конечно, Т. П. Определены и для любых расслоений со слоем Пусть О k - группа ортогональных преобразований пространства Над ее классифицирующим пространством BOk имеется k-мерное векторное расслоение ассоциированное с универсальным О k -расслоением.

Т. П. часто обозначается через МО k или ТВО k и наз. Пространством Тома группы Ok. Аналогично вводятся Т. П. MUk, и т. Д., где Uk и соответственно - унитарная и симплектическая группы. Роль Т. П. Состоит в том, что они позволяют сводить ряд геометрич. Задач к задачам гомотопич. Топологии и, следовательно, к алгебраич. Задачам. Так, задача вычисления групп бордизмов сводится к задаче вычисления гомотопич. Групп Т. П. МО k, MSOk и т. Д. (см. [1], [2], а также Кобордизм);задача классификации гладких многообразий сводится к исследованию гомотопич. Свойств Т. П. нормального расслоения (см. [3]). Задача реализации циклов подмногообразиями (см. Стинрода задача )сводится к изучению когомологий Т. П. MSOk и МО k, и т. Д. (см. Также Трансвереальное отображение, Трубчатая окрестность).

Конструкция Т. Н. Естественна на категории расслоений. Любой морфизм (векторных) расслоений индуцирует непрерывное отображение В частности, Т. П. N-мерного расслоения над точкой есть Sn, и потому для любого n-мерного векторного расслоения над Xи любой точкой имеется включение (индуцированное включением слоя над х).Если Xлинейно связно, то все такие включения гомотопны, и можно говорить об отображении единственном с точностью до гомотопности. Для векторных расслоений и над Xи Yсоответственно определено расслоение над При этом (см. [4]). В частности, для тривиального расслоения имеет место где S - оператор надстройки, так что Это обстоятельство позволяет конструировать всевозможные спектры пространств Тома.

Для мультипликативной обобщенной теории когомологий Е имеется спаривание Возникает спаривание так что является Е* (Х) -модулем, и это используется при построении Тома изоморфизма. Важной и часто используемой является следующая теорема двойственности Атьи (см. [4], [5]). Если М - гладкое многообразие с краем дМ (возможно пустым) и v - его нормальное расслоение, то Т. П. Т(v) находится в S-двойственности к М/дМ. Лит.:[1] Тoм Р., в кн. Расслоенные пространства и их приложения. Сб. Пер., М., 1958, с. 293-351. [2] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. С англ., М., 1973. [3] Браудер В., Перестройки односвязных многообразий, пер. С англ., М., 1983. [4] Xьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. С англ., М., 1970.

[5] Атья М., лМатематика.