Топологическое Векторное Пространство

над топологическим полем (т. П.), К - векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой векторного пространства, т. Е. Удовлетворяющей следующим аксиомам. 1) отображение непрерывно. 2) отображение непрерывно (при этом предполагается, что произведения и наделены произведениями соответствующих топологий). Совершенно аналогично можно определить топологическое левое и правое векторные пространства над (не обязательно коммутативным) топологич. Телом. Для обозначения Т. В. И. Ес топологией иногда будет использоваться символ с другой стороны, упоминание о поле Кчасто будет опускаться. Т. В. П. Е 1 и Е 2 над одним и тем же т. П. Наз. Изоморфными, если существует непрерывное линейное взаимно однозначное отображение Е 1 на Е 2.

Обратное к к-рому также непрерывно. Размерностью Т. В. П. наз. Размерность векторного пространства Е. Способы задания топологии Т. В. П. И ее свойства. Пусть - Т. В. П. Над т. П. К. Топология инвариантна относительно сдвигов (т. Е. Для каждого отображение представляет собой гомеоморфизм Ена себя). Поэтому топология однозначно определяется базой (базисом, фундаментальной системой) окрестностей всякой фиксированной точки (в частности, нуля). Топология согласуется со структурой аддитивной группы пространства Е, и справедливы следующие предложения. 1. Для того чтобы Ебыло отделимым, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки существовала окрестность нуля, не содержащая х.2. Если . Отделимо, то оно вполне регулярно. 3. В E существует единственная равномерная структура, обладающая следующими свойствами.

А) она инвариантна относительно сдвигов (т. Е. Для нее все сдвиги представляют собой равномерно непрерывные отображения). Б) ассоциированная с ней топология совпадает с исходной топологией пространства Е. Множество в Т. В. П. Наз. Полным, если оно полно относительно равномерной структуры, о к-рой только что шла речь. Т. О., Т. В. П. Еполно, если всякий Коши фильтр в Есходится. Для всякого Т. В. П. Есуществует полное Т. В. П. Над тем же полем, содержащее Ев качестве всюду плотного подмножества и индуцирующее на Еисходные линейную структуру и топологию. Оно наз. Пополнением пространства Е. Всякое отделимое Т. В. П. Обладает отделимым пополнением, единственным с точностью до изоморфизма, оставляющего неподвижными элементы пространства Е. Всюду далее предполагается, если не оговорено противное, что К - недискретное нормированное поле, наделенное топологией, определяемой нормой.

Если Е - векторное пространство над К, то множество называется закругленным (или уравновешенным), если при Если . И В- два подмножества в Е, то говорят, что А поглощает В, если существует такое положительное число r, что при Подмножество пространства Еназ. Поглощающим (или радиальным), если оно поглощает каждое одноточечное множество. Во всяком Т. В. П. Енад . Существует база замкнутых окрестностей нуля со следующими свойствами. 1) для всякого множества существует такое, что 2) каждое - закругленное поглощающее множество. 3) если то и для всякого С другой стороны, пусть - топология в векторном пространстве Енад К, инвариантная относительно сдвигов и обладающая базой окрестностей нуля, имеющей свойства (1) и (2), а также следующее свойство.

За) существует такое что, если то и Тогда Е, наделенное топологией -Т. В. П. Над K (в том случае, когда норма в поле Кархимедова, (За) является следствием остальных требований, наложенных на Всякий базис фильтра в векторном пространстве Енад К, обладающий свойствами (1), (2), (За), а в случае поля с архимедовой нормой - хотя бы свойствами (1) и (2),- является фундаментальной системой окрестностей нуля (не обязательно замкнутых) нек-рой однозначно определяемой топологии в Е, согласующейся со структурой векторного пространства в Е. Т. В. П. Енад полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел и его топология наз. Локально выпуклыми, если Еобладает базой окрестностей нуля, состоящей из выпуклых множеств (иногда в определение локально выпуклого пространства включается еще требование его отделимости).

Примеры. 1. Всякое т. П. Кможет рассматриваться как (одномерное) Т. В. П. Над К;рассматриваемое таким образом, оно будет обозначаться символомК 0. 2. Пусть I - нек-рое непустое множество и - векторное пространство над К, представляющее собой произведение I экземпляров векторного пространства К 0,наделенное топологией, являющейся произведением топологий сомножителей. Тогда - Т. В. П. 3. Если топология т. П. Кдискретна, то всякое векторное пространство Енад К, наделенное топологией, согласующейся со структурой ого аддитивной группы и инвариантной относительно операций умножения на ненулевые элементы из К, является Т. В. П. (этим условиям удовлетворяет, в частности, дискретная топология в Е). Т. В. П. Над полями с дискретной топологией наз.

Топологическими векторными группами. 4. Пусть Е - векторное пространство над т. П. К, - нек-рое множество полунорм на Е. Шаром радиуса r>0 по полунорме р на Еназ.