Харди Классы

Hp, р> 0,-классы аналитич. В круге D={|z|<. 1} функций f(z), для к-рых где -нормированная мера Лебега на окружности это равносильно условию существования у субгармонич. Функции |f(z)|p гaрмонич. Мажоранты в D. К X. К. Причисляют также класс ограниченных аналнтич. Функций в D. Введенные Ф. Риссом [1] и названные им в честь Г. Харди (G. Hardy), первым рассмотревшего свойства р-средних в условии (*), X. К. Играют важную роль в различных вопросах граничных свойств функций, гармонич. Анализа, теории степенных рядов, линейных операторов, случайных процессов, экстремальных и аппроксимационных задач. При любых справедливы точные вложения где N - класс Неванлинны ограниченного вида функций, в частности функции X. К. Имеют почти всюду на Т угловые граничные значения по к-рым исходные функции f(z) в Dвосстанавливаются однозначно.

Если то (обратное верно не для любой аналитич. Ции f(z))и Классы Н р, - это в точности классы аналитических в Dфункций f(z), к-рые имеют граничные значения и восстанавливаются по ним посредством интеграла Коши. Функции же, представимые в Dинтегралом типа Коши или Коши - Стилтьеса, принадлежат, вообще говоря, лишь классам Н р, p <. 1 (обратное неверно). Однолистные функции в Dпринадлежат всем классам Н р, р <1/2. Условие необходимо и достаточно для того, чтобы аналитич. Ция f(z) была непрерывна в и абсолютно непрерывна на Т. Если функция f(z) конформно отображает круг Dна жорданову область G, то условие равносильно спрямляемости контура (см. [2], [5]). Существование взаимно однозначного соответствия между функциями X.

К. И их граничными значениями позволяет рассматривать, когда это удобно, функции как функции на Т, при этом классы Н р становятся замкнутыми подпространствами банаховых (полных линейных метрических, если р<. 1) пространств Lp (Т). При 0 <. Р <. Оо (бесконечность) эти подпространства совпадают с замыканиями в L р (Т)многочленов от а при -с совокупностями тех функций из LP(T), коэффициенты Фурье к-рых равны нулю для отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что отображение Р, выражаемое через ряды Фурье равенством является ограниченной проекцией банахова пространства Lp (Т)на Н р при любом но не при р - 1, Отсюда вытекает совпадение действительных пространств и Re Hp, при других же значениях р эти пространства существенно различны как по аппроксимативным характеристикам и структуре сопряженных пространств, так и (при р = 1) в отношении свойств коэффициентов Фурье (см.

[7], [9]). Множества нулей {zk} нетривиальных функций X. К. Полностью характеризуются условием обеспечивающим равномерную сходимость внутри Dканонич. Бляшке произведений Для любой функции р > 0, имеет место факторизация Рисса где В(z) - произведение Бляшке, построенное по нулям функции в D. Функция f0(z) в свою очередь разлагается в произведение f0(z) = внешней функции и внутренней сингулярной функции где а - неотрицательная сингулярная мера на Т. Условия равносильны, при этом почти всюду на Т. Внутренние функции G(z), имеющие вид полностью характеризуются условиями |G(z)| <. 1 в Dи почти всюду на Т. Часто используют разложение произвольной функции в произведение двух функций из H2 (см.

[4], [5]). Класс H2 занимает особое место среди X. К., так как является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффициенты Тейлора. Важную роль сыграло изучение оператора умножения на s, или оператора сдвига, в пространстве H2. Оказалось, что все инвариантные подпространства этого оператора порождены внутренними функциями G(z), т. С. Имеют вид (см. [4]). Относительно поточечного умножения и sup-нормы класс является банаховой алгеброй с весьма сложным строением пространства максимальных идеалов и границы Шилова (см. [4]). Вопрос о плотности идеалов в пространстве с обычной топологией Гельфанда (т. Н. Проблема короны) был решен положительно на основе описания универсальных интерполяционных последовательностей - последовательностей {zn}> таких, что X.

К. аналитич. Ций f(z) в областях отличных от круга, можно определить (в общем случае неэквивалентно) исходя либо из условия существования у функций | f(z)|p гармонич. Мажоранты в G, либо из условия ограниченности интегралов по семействам контуров {Lr}, в каком-то смысле приближающих границу области G. Первый способ позволяет определить также X. К. На римановых поверхностях. Второй способ приводит к классам, лучше приспособленным для решения экстремальных и аппроксимационных задач. В случае жордановых областей Gсо спрямляемой границей последние классы наз. Классами Смирнова и обозначаются Е р(G) (см. [2]). Для полуплоскости, напр. P={Rez>0}, классы Н Р (Р), р>0, определяемые условием по свойствам близки к X.

К. Для круга, однако их приложения в гармонич. Анализе связаны уже не с теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье. X. К. Аналитич. Ций f(z) = f(z1, ..., zn) в единичном шаре В n и единичном поликруге Dn пространства определяются условием (*) с заменой окружности Тсоответственно сферой или остовом Т n поликруга. Специфика многомерного случая проявляется прежде всего в отсутствии простой характеристики множеств нулей и факторизации функций соответствующих X. К. (см. [6], [10]). X. К. Определяются, причем различными способами, и для других областей в (см. [101). Многомерными аналогами X. К. (см. [3]) являются т. Н. Пространства Харди - пространства р>0, систем Рисса - действительных вектор-функций удовлетворяющих обобщенным условиям Коши - Римана .

дляк-рых Определение этих пространств можно дать и в терминах лишь лдействительных частей.