Ядерное Пространство

локально выпуклое пространство, у к-рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. П. Возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре (см. Ядерная билинейная форма). Основополагающие результаты теории Я. И. Принадлежат А. Гротендику [1]. Употребительные в анализе функциональные пространства, как правило, являются банаховыми или Я. П. Важную роль играют Я. П. В спектральном анализе операторов в гильбертовых пространствах (построение оснащенных гильбертовых пространств, разложения по обобщенным собственным векторам и т. П.) (см. [2]). Я. П. Тесно связаны с теорией меры на локально выпуклых пространствах (см.

[3]). Удается охарактеризовать Я. П. В терминах инвариантов типа размерности (аппроксимативная размерность, диаметральная размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инвариантов является функциональная размерность, к-рая для многих пространств, состоящих из целых аналитич. Ф-ций, совпадает с числом переменных, от к-рых зависят эти функции (см. [2]). По своим свойствам Я. П. Приближаются к конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множество в Я. П. Предкомпактно. Если Я. П. Полно (или хотя бы квазиполно, т. Е. Каждое замкнутое ограниченное множество является полным), то оно полурефлексивно (т. Е. Второе сопряженное к этому пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каждое замкнутое ограниченное множество в нем является компактным.

Если квазиполное Я. П. Является бочечным пространством, то оно является и Монтеля пространством (в частности, рефлексивно). Всякая слабо сходящаяся счетная последовательность в таком пространстве сходится и в исходной топологии. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Каждое Я. П. Обладает свойством аппроксимации. Любой непрерывный линейный оператор в таком пространстве можно приблизить в операторной топологии предкомпактной сходимости операторами конечного ранга (т. Е. Непрерывными линейными операторами с конечномерными образами). Тем не менее существуют ядерные Фреше пространства, не обладающие свойством ограниченной аппроксимации. В таком пространстве тождественный оператор не является пределом счетной последовательности операторов конечного ранга в сильной или слабой операторной топологии [6].

Построены Я. П. Фреше без базиса Шаудера, причем такие пространства могут иметь сколь угодно малую диаметральную размерность, т. Е. В нек-ром смысле могут быть сколь угодно близкими к конечномерным [7]. Для Я. П. Построен и контрпример к проблеме инвариантного подпространства. В нек-ром ядерном пространстве Фреше указан непрерывный линейный оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств [8]. Примеры Я. П. 1) Пусть - пространство всех (действительных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактных подмножествах в Сопряженное к пространство состоит из всех обобщённых функций с компактным носителем.

Пусть и - линейные подпространства в состоящие соответственно из функций с компактным носителем и из функций, убывающих при вместе со всеми производными быстрее любой степени | х|-1. Сопряженные к и относительно стандартной топологии пространства и состоят соответственно из всех обобщенных функций и всех обобщенных функций медленного роста. Пространства наделенные сильными топологиями, являются полными рефлексивными Я. П. 2) Пусть { а пр} - бесконечная матрица, причем п, р=1,2, . Пространство таких последовательностей что для всех р, с топологией, задаваемой преднормами наз. Пространством Кёте и обозначается Это пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого рнайдется такое q, что Свойства наследования.

Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отделимое факторпространство) Я. П. Ядерно. Прямая сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. П., а также произведение, проективный предел любого семейства Я. П.- снова Я. П. Пусть Е - произвольное локально выпуклое пространство, Е' - сопряженное пространство к Е, наделенное сильной топологией. Если Е' - Я. П., то Еназ. Дуально ядерным. Если Е - произвольное пространство, a F - Я. П., то пространство L(E, F )непрерывных линейных операторов из Ев Fявляется Я. П. Относительно сильной операторной топологии (простой сходимости). Если к тому же Еполурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F) ядерно и в топологии ограниченной сходимости.

Метрические и дуально метрические Я. П. Локально выпуклое пространство Еназ. Дуально метрическим или пространством типа если оно имеет счетную фундаментальную систему ограниченных множеств и каждое (сильно) ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств в Е' равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим. Обратное неверно. Если Е - пространство типа то Е' - пространство типа (пространство Фреше, т. Е. Полное и метризуемое). Примерами Я. П. Типа являются пространства Кёте, а также соответственно - Я. П. Типа Пространства и не являются ни метрическими, ни дуально метрическими. Метрические и дуально метрические Я.

П. Сепарабельны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к сопряженному пространству устанавливает взаимно однозначное соответствие между Я. П. Типа и полными Я. П. Типа Если Е - полное Я. П. Типа a F - Я. П. Типа то пространство операторов L(E, F), наделенное топологией ограниченной сходимости, ядерно и дуально ядерно. Каждое Я. П. Типа изоморфно подпространству пространства бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т. Е. - универсальное пространство для Я. П. Типа (см. [10]). Пространство Фреше Еядерно тогда и только тогда, когда всякий безусловно сходящийся ряд в Есходится абсолютно (т. Е. По любой непрерывной преднорме). Интенсивно изучаются пространства голоморфных функций на Я. И. Типа и (см. [11]). Тензорные произведении Я.

П. И пространства вектор-функций. Алгебраическое тензорное произведение локально выпуклых пространств Еи Fможно наделить проективной и слабой топологиями, превращающими в топологическое тензорное произведение. Проективная топология - это сильнейшая локально выпуклая топология, для к-рой каноническое билинейное отображение непрерывно. Слабая топология (или топология (би)равностепенно непрерывной сходимости) индуцируется при естественном вложении где -сопряженное пространство к Е, наделенное топологией Макки а - пространство непрерывных линейных отображений наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных множествах в К'. При этом вложении алемент переходит в оператор где <.

Х, х'> - значение функционала на Пополнение в проективной (слабой) топологии обозначается (соответственно Для того чтобы Ебыло Я. П., необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространства . Проективная и слабая топологии в совпадали, т. Е. Если F совпадает с пространством l1 суммируемых последовательностей, то Е - Я. П. Вместо l1 можно взять любое пространство с безусловным базисом (см. [12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X, что (см. [13]). Если Еи F- полные пространства и F - Я. И., то вложение продолжается до изоморфизма между Если Е - ненулевое Я. П., то ядерно тогда и только тогда, когда Fядерно. Если Еи F - оба пространства типа (или и Е - ядерно, то - пространство типа (соответственно и Пусть Е- полное Я.

П., состоящее из скалярных функций (не всех) на нек-ром множестве Т, причем . Является индуктивным пределом (локально выпуклой оболочкой) счетной последовательности пространств типа и топология в Е не слабее топологии поточечной сходимости функций на Т. Тогда для любого полного пространства Fможно отождествить с пространством всех таких отображений (вектор-функций) что скалярные функции принадлежат Едля всех В частности, совпадает с пространством всех бесконечно дифференцируемых вектор-функций на со значениями в F, а Структура Я. П. Пусть U - выпуклая закругленная окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е, а р - соответствующий Uфункционал Минковского (непрерывная преднорма), Е U - факторпространство Е/р-1(0) с нормой, индуцированной проднормой - пополнение нормированного пространства Е U.

Определено непрерывное каноническое линейное отображение если окрестность Uсодержит окрестность F, то канонически определяется непрерывное линейное отображение Для локально выпуклого пространства . Следующие условия эквивалентны. 1) Еявляется Я. П. 2) в . Существует такой базис выпуклых закругленных окрестностей нуля, что для любой окрестности канонич. Отображение является ядерным оператором. 3) отображение ядерно для любой выпуклой закругленной окрестности нуля Uв Е. 4) всякая выпуклая закругленная окрестность нуля Uв Есодержит другую такую окрестность нуля V, что ядерно канонич. Отображение Пусть К - Я. И. Для любой окрестности нуля U в Еилюбого такого числа р, что существует выпуклая закругленная окрестность для к-рой EV (понорме) изоморфно подпространству в пространстве lp суммируемых со степенью рпоследовательностей.

Таким образом, Есовпадает с локально выпуклым ядром (индуктивным пределом) семейства пространств, изоморфных lp. В частности (случай р=2) в любом Я. П. Есуществует такой базис окрестностей нуля что все пространства гильбертовы. Таким образом, Е - мультигильбертово пространство, т. Е. Топология в Еможет быть порождена семейством преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой неотрицательно определенной эрмитовой формы на Любое полное Я. П. Изоморфно проективному пределу семейства гильбертовых пространств. Пространство Етипа ядерно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде такого проективного предела счетного семейства гильбертовых пространств Н п. Что gmn -ядерные операторы (или хотя бы Гильберта-Щмидта oператoры )при m<n.

Базисы в Я. П. В Я. П. Любой равностепенно непрерывный базис является абсолютным. В пространстве типа любой счетный базис (хотя бы слабый) является равностепенно непрерывным базисом Шаудера, так что в Я. П. Типа всякий базис является абсолютным (в частности, безусловным). Аналогичный результат справедлив для полных Я. П. Типа и всех Я. П., для к-рых имеет место теорема о замкнутом графике. Факторпространство Я. П. Типа с базисом не обязано иметь базис (см. [4], [5], [6]). Пусть Е- Я. П. Тина Топологию в Еможно задать счетной системой преднорм , р=1, 2, . ., причем для всех Если в Есуществует базис или непрерывная норма, то преднормы можно считать нормами. Пусть { е n} - базис в Е;тогда любой элемент разлагается в сходящийся (абсолютно и безусловно) ряд где координаты имеют вид а функционалы образуют биортогональный базис в Е'.

Пространство Еизоморфно пространству Кётe где при этом изоморфизме элемент переходит в последовательность своих координат Базис {fn} в Еэквивалентен базису { е n},т. Е. Получается из него под действием изоморфизма тогда и только тогда, когда пространства Кёте и совпадают как множества [4]. Базис {fn} наз. Регулярным (пли правильным), если существует система норм и перестановка индексов такие, что монотонно убывает при всех Если Я. П. Етипа имеет регулярный базис, то любые два базиса в Еквазиэквивалентны (т.