Якоби Проблема Обращения

проблема обращения абелевых интеграловI рода произвольного поля алгебраических функций. Иначе говоря, проблема обращения абелевых интегралов I рода на компактной римановой поверхности Fрода соответствующей данному алгебраич. Уравнению F(z, w)=0. Пусть - базис абелевых дифференциалов I рода на F. Обращение одного абелева интеграла, напр. т. Е. Представление всевозможных рациональных функций от w1, в частности представление функции w1 = w1(z1) как функций от z1, имеет смысл только при р=1 - в этом случае речь идет об обращении эллиптического интеграла, к-рое приводит к двоя-копериодическим эллиптическим функциям. Напр., обращение нормального интеграла I рода в нормальной форме Лежандра приводит к Якоби эллиптической функции w1=sn z1.

Как заметил еще К. Якоби (С. Jacobi, 1832), проблема обращения при р>1 должна рассматриваться для всех абелевых интегралов I рода в совокупности, так как должны получиться функции с 2рпериодами. В общем случае при рациональная постановка Я. П. О, состоит в следующем. Пусть дана система равенств в к-рой нижние пределы интегрирования c1, с 2, . ., c р - фиксированные точки на F. W1, . , wp - текущие точки на F. Z=(z1, . ., zp) - данные произвольные комплексные числа. Требуется указать, при каких условиях и как можно обратить систему (1), т. Е. Получить представление всевозможных симметрических рациональных функций от wk, k=1, 2, . ., р, как функций от z=(zl, . ., zp). Вследствие зависимости от формы путей, соединяющих на Fточки ck и wk, абелевы интегралы в (1), как функции от верхних пределов wk, многозначны.

При изменении формы пути они могут получить приращение в виде целочисленной линейной комбинации периодов. Отсюда вытекает, что (1) является в сущности системой сравнений по модулю периодов дифференциалов Получаемые при решении Я. П. О. Функции от комплексных переменных z = (z1, . ., zp )не должны изменять своих значений при прибавлении к аргументу любой целочисленной комбинации периодов дифференциалов Это будут, следовательно, специальные абелевы функции с 2рнезависимыми периодами. Для случая p =1,т. Е. Для эллиптического интеграла, построение эллиптич. Функций, решающих проблему обращения, достигается при помощи сравнительно простых тета-функций Якоби от одного комплексного переменного z, причем мероморфные эллиптич.

Функции строятся в виде отношений целых тета-функций. Решение общей Я. П. О. Также возможно при помощи тета-функций 1-го порядка от ркомплексных переменных с полуцелыми характеристиками Н. Матрица периодов Wбазисных абелевых дифференциалов имеет вид причем римановы соотношения (см. Абелева функция )между периодами обеспечивают равномерную сходимость на компактах пространства представляющих тета-функции рядов, построенных по матрице W. При помощи тета-функции с нулевой характеристикой строится суперпозиция где - вектор абелевых интегралов, w=(w1, . , wp) - система точек на F;Ф (w)наз. Римана тета-функцией. Для данной системы чисел либо в нормальном случае функция Ф(w) имеет на Fединственную систему нулей либо в исключительном случае тождественно обращается в нуль.

Эти нули и дают решение Я. П. О. Исключительные точки г, для к-рых составляют в множество низшей размерности. Явные выражения специальных абелевых функций, решающих Я. П. О. В полном объеме, строятся при помощи отношений тета-функций вида в к-рых тета-функция с нулевой характеристикой служит общим знаменателем. При прибавлении к аргументу периодов тета-функции умножаются на определенные мультипликаторы. Для отношений тета-функций, вследствие сокращений, нетривиальным мультипликатором может быть только -1. Следовательно, квадраты отношений не изменяются при прибавлении к аргументу периодов и получаются абелевы функции с 2рпериодами. К Я. П. О. Примыкает важная проблема построения для данной системы тета-функций с общей матрицей W, удовлетворяющей условиям сходимости, соответствующего ей поля алгебраич.

Функций и соответствующей римановой поверхности. Для того чтобы такое построение было возможно, различные элементы ajk матрицы W, число к-рых равно р(р+1)/2, должны удовлетворять ( р-2)(р-3)/2 дополнительным соотношениям, и исследование этих соотношений при р>3 представляет собой весьма трудную задачу (см. [1], [3]-[5]) Лит.:[1] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948. [2] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. С англ., М., 1960. [3] Clebsch A., Gordan P., Theorie der Abelschen Funktionen, [Wurzburg], 1967. [4] Соnfоrtо F., Abelsche Funktionen und algebraische Geometric, В., 1950. [5] Мамфорд Д., лМатематика.